МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Лекция 2

Общие подходы к построению моделей

Словарь модуля

Литература модуля

Оглавление лекции 2

2.1 Классификация моделей

2.2 Основные методы построения, реализации и эксплуатации моделей

2.3 Вопросы авторского права при разработке и эксплуатации моделей

2.1 Классификация моделей

Модели могут быть классифицированы по различным критериям. Ниже мы рассматриваем только основные классификации.

2.1.1 Классификация по степени детерминированности моделируемых процессов

Детерминированные модели – при одинаковых условиях моделирования (начальное состояние, внешние воздействия) всегда будет получаться одинаковый результат. Обычно детерминированные модели это:

- либо модель гипотетического объекта;

- либо некоторые идеализации реальных объектов.

По уровню абстракции для детерминированных моделей можно выделить две крайние группы - сложные и предельно упрощенные. Между ними располагаются модели "промежуточной" группы, различающиеся различными уровнями (степенями) упрощения.

Стохастические – в модели учитываются случайные факторы (для каждого вычислительного эксперимента они в общем случае могут иметь различный разброс), которые в той или иной степени будут влиять на результат.

На практике для любого реального процесса (характеристик объекта) имеются какие-то случайные флюктуации (в детерминированных моделях они не учитываются).

В качестве стохастических параметров модели могут выступать:

- начальные условия;

- граничные условия;

- характеристики внешних воздействий на моделируемый объект (систему).

Для стохастических параметров обычно могут быть заданы статистические распределения по интервалам значений. С учетом этих распределений конкретные значения получаются на основе использования генераторов случайных чисел.

При этом в принципе могут быть такие модели.

* Полностью (целиком) стохастические - значения всех параметров модели носят стохастический характер. Такой вариант поведения может встречаться, например, при моделировании игр. Обычно считается также полностью случайным выбор студентом билета из числа разложенных на столе – если раскладка была выполнена случайным образом, а билеты не имеют пометок, повреждений и пр. на обратной стороне;

* Частично стохастические модели. При этом, по крайней мере часть параметров носит стохастический характер.

Таким образом детерминированные модели можно рассматривать как предельный (частный) случай стохастических моделей (когда влияние стохастических факторов пренебрежимо мало).

2.1.2 Классификация на стационарные и нестационарные модели.

Если свойства преобразования входных сигналов (реакция модели на внешние воздействия) не изменяются со временем, то такую модель называют стационарной (в противном случае модель считается нестационарной). Реакция стационарной модели на внешнее воздействие (возмущение) зависит только от того, сколько времени прошло от начала воздействия и до текущего момента времени.

Реакция же нестационарной системы зависит как от текущего времени, так и от того, когда имело место внешнее воздействие. Поэтому при сдвиге входного воздействия вдоль временной оси реакция системы не просто сдвигается по времени, но изменяет свои количественные и, возможно, качественные характеристики.

Частным случаем стационарных моделей являются "статические", (не путать со статистическими!), которые соответствуют установившимся режимам, т.е. таким, когда значения параметров системы не изменяются во времени.

На практике "статические" режимы могут быть идеализацией реальной ситуации, т.к. какие-то флуктуации значений параметров во времени обычно все же есть. Поэтому иногда говорят о "квазистатических" режимах, имея в виду, что значения параметров изменяются лишь в небольших (не выше заданных) пределах. При этом в качестве статических берут средние значения параметров по времени.

Примерами статических моделей могут являться, например, механические модели корпусов радиоэлектронной аппаратуры, используемые при расчетах их прочностных характеристик.

Динамические модели характеризуются совокупность переменных состояния системы, которые изменяются со временем, в зависимости от некоторых независимых параметров системы или совокупности таких параметров. В простейшем случае для модели может быть одна "переменная состояния" (параметр).

В общем случае состояние системы можно представить как точку в многомерном пространстве (соответственно количеству переменных состояния) обычно с ортогональными осями. Это пространство часто называют фазовым пространством или пространством состояний, а точка (соответствующая состоянию системы в конкретный момент времени) называется "изображающей".

При изменении состояния системы с течением времени изображающая точка перемещается в фазовом пространстве. Линия, по которой эта точка перемещается, называется "фазовой траекторией". Статическим состояниям систем соответствуют неподвижные точки в фазовом пространстве.

Целесообразно отметить особые классы объектов с характеристиками, изменяющимися во времени.

(Б1) Процессы с постепенным (с течением времени) выходом на стационарный режим. Примеры.

(Б1-1) Разряд конденсатора через сопротивление – при бесконечно большом времени конденсатор разрядится полностью.

(Б1-2). Нагрев микросхемы процессора в системном блоке компьютера в процессе его работы. Это, скорее, пример с выходом на квазистатическое состояние, т.к. в зависимости от характера выполняемой в конкретный момент работы, нагрузка на процессор может меняться и, как следствие, может несколько меняться его температура. Однако эти вариации достаточно часто можно не принимать во внимание в силу того, что их величины небольшие.

В фазовом пространстве это соответствует постепенному перемещению изображающей точки к положению, соответствующему статическому состоянию.

(Б2) Периодические процессы – характеризуются строго повторяющимися состояниями модели через определенные промежутки времени. (Например, многие колебательные процессы из области радиотехники). При этом такие процессы могут описываться как одной единственной гармоникой (определенной частоты), так и совокупностью нескольких гармоник разной амплитуды.

Вариант "Б2" соответствует тому, что изображающая точка перемещается в фазовом пространстве по некоторой замкнутой траектории, причем скорость перемещения на отдельных участках траектории может быть различной.

Понятно, что область фазового пространства, в которой расположена рассматриваемая траектория, является ограниченной.

(Б3) Квазипериодические процессы – характеризуются примерно повторяющимися состояниями моделируемой системы (это могут быть периодические процессы с наложенной случайной составляющей, причем относительно небольшой по величине).

Траектория изображающей точки в этом случае не является замкнутой, но как и в подпункте (Б2) располагается в некоторой ограниченной области фазового пространства.

(Б4) В случае установившегося состояния реакция модели на однократное внешнее воздействие может приводить к тому, что:

- система через некоторое время вернется в первоначальное состояние (т.е. изображающая точка, описыв некоторую траекторию в фазовом пространстве, будет постепенно приближаться к исходному, невозмущенному положению);

- система через некоторое время вернется в иное установившееся состояние;

- возникнут какие-то незатухающие колебания в модели системы;

- реакция системы на внешнее воздействие будет носить "катастрофический" характер – с разрушением системы, т.е. прекращением ее функционирования в качестве таковой. Примером может быть, например, разрушение самолета при возникновении флаттера.

2.1.3 Классификация на линейные и нелинейные модели.

Эта классификация осуществляется исходя из типа реакции системы на внешние воздействия (входные сигналы).

Для линейных систем справедлив "принцип суперпозиции", который в данном контексте можно понимать как "линейной комбинации произвольных входных сигналов ставится в соответствие линейная комбинация сигналов на выходе из системы".

Линейность или нелинейность анализируемой модели может существенно влиять на подходы к решению поставленной задачи, методы и приемы задания исходных данных, в меньшей степени – на особенности программной реализации модели для задачи и пр.

Линейные модели могут рассматриваться как частный (предельный) случай нелинейных. Отметим еще, что, как правило, линейный характер моделей выполняется лишь в некоторых пределах изменения значений параметров.

В ряде случаев осуществляется т.н. "линеаризация" нелинейных моделей. Особенно это характерно при получении аналитических решений задач.

Линеаризация может заключаться в:

- умышленной замене нелинейных зависимостей линейными для упрощения задачи (например, в рамках получения аналитических решений);

- принятии линейной зависимости в случае, когда точный вид зависимости неизвестен (но линейная зависимость в принципе не противоречит имеющимся экспериментальным данным и теоретическим представлениям о поведении моделируемого объекта);

- в уравнениях в частных производных или системах таких уравнений вынесении коэффициентов (параметров модели), которые зависят от координат, из под знаков дифференциалов

2.1.4 Классификация на модели объектов (систем) распределенные и сосредоточенные в пространстве.

Формальное определение можно дать такое "если параметры системы не изменяются в пространстве, а только во времени, то модели, описывающие такие процессы - есть модели с сосредоточенными параметрами".

Чаще всего для моделей с сосредоточенными параметрами размеры объектов, к которым относятся параметры, являются малыми по сравнению с характерными размерами задачи.

К моделям учитывающим пространственное распределение значений параметров относятся, в частности, большинство моделей:

- машиностроительных конструкций и строительных конструкций, используемые при их прочностном расчете;

для задач тепло- и массообмена и пр.

Особым случаем следует считать модели систем, состоящих из совокупностей объектов, расположенных в пространстве на некоторых расстояниях друг от друга (модели совокупностей дискретных объектов).

2.1.5 Классификация на модели "непрерывные и дискретные во времени".

Непрерывной во времени является такая модель, для которой совокупности всех параметров, описывающих состояние системы, меняются во времени непрерывным образом.

В рамках моделирования на ЭВМ обычно осуществляется дискретизация процесса по времени, т.е. непрерывный по своей сути процесс заменяется на совокупность состояний в отдельные моменты времени.

Дискретизация непрерывного во времени процесса – это лишь способ его моделирования (сам процесс остается непрерывным). В рамках реализации процесса моделирования при необходимости шаги по времени можно уменьшить, чтобы добиться более частого расположения во времени точек, описывающих этот процесс.

Естественная дискретность модели во времени обычно связана со скачкообразными переходами объекта (системы) из одного состояния в другое под влиянием внутренних процессов или внешних воздействий.

Особым случаем можно считать дискретизацию по уровню (величине) входных сигналов (или воздействий на систему), которые могут иметь лишь конечное число фиксированных значений (в простейшем случае – только "0" и "1").

2.1.6 По-видимому на практике наиболее часто встречающимися являются модели непрерывные и в пространстве и во времени.

Для их моделирования на ЭЦВМ осуществляется дискретизация задач и по пространству и по времени. Подробность дискретизации (и по пространству и по времени) влияют на точность получаемых результатов. Поэтому подробность дискретизации по пространству и по времени должны быть "сбалансированы" друг с другом.

Отметим, что для аналоговых ЭВМ дискретизации задачи по времени не требовалось (процесс моделирования осуществлялся в непрерывном модельном времени). Однако уже к примерно 2000г (если не ранее) такие ЭВМ вышли из сколько-нибудь широкого употребления и сейчас их можно увидеть только в музеях и на иллюстрациях по истории развития вычислительной техники.

2.1.7 Классификация моделей по частоте использования.

Разовые модели предназначены для однократного получения необходимых результатов. При их создании обычно стараются сэкономить и трудозатраты (в т.ч. за счет минимально приемлемого качества интерфейса с пользователем) и календарное время., При этом точность результатов должна быть не ниже заданной.

Как правило, с разовыми моделями имеет дело лишь их разработчик, либо "заказчик работы с участием разработчика".

Тем не менее, цена результатов для таких моделей может быть достаточно высокой – именно в силу того, что модели будут использоваться однократно.

Модели периодического использования . Обычно они содержат развитые средства ввода исходных параметров (которые могут быть различны), определяющих поведение модели. Достаточно часто эксплуатация таких моделей осуществляется без участия разработчика (группы разработчиков), что выдвигает повышенные требования к "интерфейсу с пользователем", "защите от неверных сочетаний исходных данных", "представлению результатов расчетов", обеспечению средств помощи пользователю и пр.