Форма входа

Наша реклама

Помогите сайту просмотрите рекламу

Поиск

Календарь

«  Март 2024  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Наш опрос

Оцените мой сайт
Всего ответов: 122

Статистика


Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0




Пятница, 29.03.2024, 13:56
Приветствую Вас Гость | RSS
Скорая помощь для студентов
Главная | Регистрация | Вход
Лекция 4


МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Лекция 4

 

Особенности схематизации и формализации задач различных типов

 

Словарь модуля

Литература модуля

Оглавление лекции

4.1 Формализация задачи и принципы отбора учитываемых факторов

4.2 Схематизация задачи и выбор расчетной схемы

4.3 Понятие математической постановки задачи

4.4 Основные подходы к математической постановке задач

4.5 Особенности постановок задач, связанных с информационными процессами и системами

4.6 Специфика математических постановок задач некоторых других типов

 

4.1 Формализация задачи и принципы отбора учитываемых факторов

Под формализацией задачи обычно имеется в виду решение вопроса о том, какие факторы (эффекты) будут учитываться при постановке задачи, а какие отбрасываться как малосущественные. Фактически степень формализации обеспечивает "глубину постановки" задачи. Более полный учет факторов приводит к усложнению модели – как в отношении разработки модели, так и ее фактического использования.

С другой стороны чрезмерное упрощение задачи может привести к неадекватности модели по отношению к реальной задаче и, как следствие, к малой практической полезности модели.

Формализация задачи может, как правило, быть выполнена неоднозначно. На выбор той или иной формализации влияет много причин, включая:

- цели моделирования;

- необходимая точность результатов;

- обеспеченность модели исходными данными;

- наличие сведений о механизмах развития различных процессов;

- ресурсы календарного времени, выделенные для получения результатов и пр.

Формализация задачи обычно является частью работ, связанных с постановкой задачи.

В случае если работы по моделированию осуществляются на основании договоров с внешним заказчиком, то вопросы формализации задач (включая номенклатуру учитываемых факторов) могут решаться в рамках технического задания на выполнение работ.

Устные договоренности в этом отношении могут приводить в последующий период к различным конфликтам.

4.2 Схематизация задачи и выбор расчетной схемы

         Под схематизацией задачи обычно понимается выбор ее расчетной схемы. Это необходимо, прежде всего, для задач типа "прочностного расчета конструкций", тепломассобмена и пр., где желательно увязать модель с пространственными характеристиками моделируемого объекта. Расчетную схему обычно можно (с рядом оговорок) считать логико-графическим отображением декомпозиции моделируемой системы на подсистемы/элементы. При этом в расчетную схему обычно включается: - графическое отображение внешних воздействий на систему;

- некоторые характеристики подсистем/элементов моделируемой системы, включая их форму, взаимное расположение, точки (области) контактов и пр.

Также к схематизации принято относить формы и последовательность сигналов, поступающих на вход системы в целом, их частоту следования и пр.

Схематизация задач является частью работ, связанных с определением постановки задачи.

         Этап схематизации обычно следует непосредственно за формализацией задачи, но не совпадает с ним. Дискретизацию задачи (пространственную, пространственно-временную и пр.) не следует отождествлять со схематизацией, поскольку дискретизация задачи – это часть методического подхода к решению формализованной и схематизированной задачи.

         В рамках принятой формализации задачи ее схематизация обычно может быть выполнена неоднозначно. При разработке (выборе) расчетной схемы обычно учитываются: - цели моделирования;

- принятый уровень схематизации задачи;

- обеспеченность задачи исходными данными;

- планируемые особенности визуализации результатов, которые будут получены при моделировании и пр.

Достаточно часто при схематизации задач решается вопрос о том, что включать в собственно моделируемую систему, а что – нет, т.е. проводится граница (контур) между моделируемой системой и внешней по отношению к ней средой.

         Для абсолютного большинства стандартных задач имеется набор типовых расчетных схем, которые проверены временем и практикой. Отметим, что для целого ряда таких схем существуют аналитические решения (в виде формул, таблиц, графиков), что часто позволяет избежать трудоемких работ, связанных с разработкой компьютерных моделей.

         В ряде компьютерных пакетов инженерно-расчетного направления также имеется встроенный набор типовых расчетных схем, что нацелено на снижение трудоемкости работ по моделированию (иногда эти расчетные схемы являются альтернативными). В тиражируемых пакетах программ иногда допускается конструирование расчетных схем пользователя, в т.ч. и из готовых "блоков".

         В задачах расчета строительных конструкций (и некоторых других) построение расчетной схемы на практике происходит не в виде декомпозиции системы (как описано выше), а путем компоновки моделируемой системы из отдельных "стандартных" элементов – обычно своеобразных "кубиков" с известными свойствами.

         Отметим, что графическое отображение расчетной схемы задачи в научных публикациях, методиках и прочее может и не приводиться в явной форме. Это может иметь место в случаях, когда:

         - расчетная схема задачи однозначно ясна из описания постановки в текстовой и/или математической форме;

-  расчетная схема задачи является стандартной и достаточно просто дать на нее ссылку и пр.

Кроме того, для ряда типов задач расчетная схема может быть не нужна или отсутствовать в силу традиций работы в соответствующей сфере деятельности.

4.3 Понятие математической постановки задачи

Математическая постановка задач включает следующие компоненты.

* Задание начальных условий для моделируемой системы (т.е. полного описания исходного состояния системы в начальный момент модельного времени).

* Задание условий на границах (контуре) расчетной области с внешней по отношению к ней средой. Эти условия могут быть различными для различных участков границы. Кроме того, они могут меняться по ходу моделирования – как принудительно (в зависимости от времени), так и с учетом изменения состояния самой системы по ходу моделирования.

* Описание внутренних взаимосвязей между объектами моделируемой системы в виде некоторых математических соотношений того или иного типа. Эти описания могут составляться (задаваться) на основе:

- общетеоретических соображений, основанных на выполнении фундаментальных законов сохранения при моделировании каких-то процессов (например, законов сохранения энергии, вещества) и т.п.;

- гипотетических предположений о механизмах взаимодействия между объектами моделируемой системы, которые задаются самим исследователем исходя из принятых им допущений;

- экспериментально-статистических зависимостей, полученных по результатам обработки лабораторных экспериментов, полевых наблюдений и пр.

В отношении способов получения математические модели можно условно разделить на теоретические и экспериментальные (в т.ч. построенные по данным наблюдений), хотя резкую границу между ними можно провести не всегда.

Для теоретических моделей математическое описание составляется на основе материальных и энергетических балансов, а также физических законов, определяющих переходные, или какие-либо иные специфические особенности процессов.

Математическое описание задачи может включать в себя следующие компоненты.

* Одиночные алгебраические уравнения (теоретического характера или полученные по результатам обработки экспериментальных данных). В общем случае коэффициенты этих уравнений могут меняться в зависимости от времени или иных условий, например, связанных с состоянием моделируемой системы.

* Системы алгебраических уравнений, в т.ч. и различного типа.

* Одиночные обыкновенные дифференциальные уравнения того или иного порядка

* Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в общем случае в такие системы могут входить дифференциальные уравнения разных порядков.

* Одиночные дифференциальные уравнения в частных производных того или иного типа.

* Системы дифференциальных уравнений в частных производных.

* Формулы эмпирического характера

* Математические таблицы, рассчитанные по теоретическим или эмпирическим формулам.

* Графики функций (зависимостей). При моделировании задачи они обычно представляются в виде совокупности табличных значений, в том числе и на неравно отстоящих значениях аргумента.

* Логические условия, описывающие область применимости того или иного объекта из числа вышеперечисленных.

В ряде случаев в математическую постановку задач вводятся некоторые ограничения на значения аргументов или функций. Эти ограничения могут быть:

* односторонними (типа "больше" или "меньше");

* двусторонними (типа интервалов значений);

* представлять собой ряд дискретных значений и пр.

Эти ограничения могут вводиться исходя из:

- существующих законов природы;

- постановки задачи для моделирования;

- свойств, присущих самой системе;

- ограничений, присущих самим моделируемым объектам;

- финансово экономических или юридических ограничений и пр.

Для каждого параметра, используемого для математической формулировки модели, обычно должны быть заданы:

- символ (с расшифровкой его смысла);

- единицы измерения;

- иногда - диапазон изменения или набор дискретных значений;

- тип параметра – детерминированный или стохастический.

Параметры модели принято делить на: входные; внутренние; выходные. В свою очередь для входных можно выделить управляемые (контролируемые) и неконтролируемые, в т.ч. и случайные.

В качестве возмущающих воздействий обычно рассматриваются внешние воздействия, которые выводят систему из состояния равновесия.

4.4 Основные подходы к математической постановке задач

При разработке моделей для различных систем в принципе возможны различные подходы. Типичными вариантами являются следующие.

* Система, которую необходимо моделировать, в достаточной степени изучена и описывается известными аналитическими соотношениями с известными коэффициентами.

В рамках процесса моделирования эти соотношения просто задаются для описания модели, а сам процесс разработки моделирующей программы сводится, в основном, к программированию интерфейса с пользователем.

* Математическая постановка задачи для моделируемой системы в принципе известна в виде аналитических соотношений, но сами коэффициенты этих соотношений неизвестны.

При этом может ставиться задача подбора этих коэффициентов на основе известной модели и известного фактического поведения моделируемой системы. Такая задача может называться "калибровкой модели" или "обратной задачей" (это два разных типа задач).

* Известно только фактическое поведение моделируемой системы. Необходимо подобрать подходящее аналитическое описание для системы и значения коэффициентов для него.

При этом задача идентификации модели фактически оказывается двухэтапной (определение типа зависимости, а затем коэффициентов для этой зависимости).

* Математическая постановка задачи в принципе известна в виде дифференциального уравнения (уравнений) и значения коэффициентов и т.п. тоже известны.

При этом задача обычно сводится не только к программированию интерфейса и разностных аналогов дифференциальных уравнений, но и выбору подходящего численного метода их решения.

* Если дифференциальное уравнение (я) известны, но необходимо определить коэффициенты в них путем калибровки модели, то обычно это можно сделать неоднозначно. Подбор коэффициентов при этом осуществляется исходя из максимального совпадения фактически наблюдаемых значений для моделируемой системы и расчетных (по результатам моделирования) значений.

4.5 Особенности постановок задач, связанных с информационными процессами и системами

Информационные процессы и системы представляют собой особый класс систем для моделирования, по ряду характеристик принципиально отличающихся от традиционных задач моделирования.

С теоретической точки зрения "информация" представляет собой устранение неопределенности в знаниях. Минимальной единицей измерения количества информации  обычно считается бит, который может быть равен "0" или "1".

В большинстве учебных пособий "информационные процессы" определяются как процессы сбора, накопления, хранения, переработки и анализа информации, ее передачи, наконец представления конкретным пользователям. Дополнительно отметим возможности потери информации – как при прохождении между объектами системы, так и внутри них.

Информация может:

- приниматься (т.е. поступать на вход моделируемой системы);

- храниться в ней;

- перерабатываться внутри моделируемой системы;

- передаваться из моделируемой системы вовне по различным каналам;

- теряться в процессе передачи;

- повреждаться тем или иным образом внутри системы;

- уничтожаться в системе;

- копироваться.

Эти процессы в литературе принято трактовать как "информационные", т.е. связанные с некоторыми действиями над информацией.

Представление информации для пользователя может осуществляться (в т.ч. в рамках информационных систем):

* на экране монитора (только изображение – статическое или анимированное);

* в виде звука (в т.ч. и с использованием звукосинтезирующих программ, которые читают сформированный текст "вслух");

* в рамках мультимедийных систем и пр.

Информационные процессы с точки зрения их моделирования могут рассматриваться (в зависимости от ситуаций) как дискретные или непрерывные.

Для дискретных процессов характерен учет в моделях отдельных сигналов или "порций" информации, а для  непрерывных – преимущественно "информационных потоков" (в общем случае переменной интенсивности во времени). При этом модели могут быть сформулированы в виде дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

В отношении изменяющихся во времени информационных потоков при моделировании возможно их:

- усреднение во времени;

- учет долговременного тренда;

- учет сезонной (или иной периодической) составляющей и пр.

Отметим еще, что при моделировании информационных процессов  важны не только суммарные входной и выходной потоки, но и распределение их по направлениям (каналам). Если эти потоки для моделируемой системы буферизуются (например, в виде очередей на прием, обслуживание или на отправку, то соответствующие буфера обычно целесообразно рассматривать как отдельные подсистемы.

Графическое представление информационных потоков целесообразно осуществлять на графах, причем узлами графов будут отдельные объекты моделируемой системы.

В порядке расширения традиционных методов отображения графов в ряде случаев целесообразно использовать некоторые специфические приемы.

В частности стрелки на графах могут быть:

Для самих стрелок дополнительную информацию могут нести.

* Толщины линий (Например, для характеристики интенсивности информационных потоков. При этом обычно целесообразно брать толщину пропорционально не средней интенсивности потока, а логарифму этой величины).

* Вид линий (пунктир, штрих-пунктир и пр.) – для указания непрерывности или периодичности прохождения информации.

* Цвет линий (для указания преобладающего характера информации в информационном потоке и пр.).

Для характеристики объемов, хранимой в конкретной подсистеме информации, можно использовать представление ее в виде узла графа с радиусом кружка, пропорциональным логарифму объема информации.

 Для моделей информационных потоков помимо задач анализа по типу "что будет если …." возможна постановка и оптимизационных задач, связанных с:

* определением оптимальных маршрутов распределения трафика на основе различных критериев;

* определением оптимального распределения хранимой информации по подсистемам и пр.

4.6 Специфика математических постановок задач некоторых других типов

Ниже рассматриваются некоторые типичные классы задач, для которых часто осуществляется моделирование на ЭЦВМ. Этот  перечень не является, конечно, исчерпывающим. Развитие науки и техники приводит к появлению новых классов задач и перераспределению акцентов между уже существующими.

Для задач тепломассообмена (это стандартное название класса задач, которые могут быть связаны с обменом веществом, энергией или и тем и другим) характерны преимущественно непрерывные (в пространстве и во времени) процессы, чаще всего описываемые дифференциальными уравнениями (обыкновенными или в частных производных).

Граничные условия для них чаще всего задаются 1-го, 2-го или 3-го рода (подробнее – см. рекомендованную литературу), причем коэффициенты в этих условиях могут зависеть от различных факторов.

Задачи, связанные с описанием "механики жидкости и газа" также обычно сводятся к системам дифференциальных уравнений.

Отдельный класс представляют "задачи массового обслуживания", которые в значительной мере перекрываются с задачами анализа информационных потоков, рассмотренными выше. В данном курсе этот класс задач будет на примерах достаточно подробно рассмотрен в рамках лабораторных работ. Эти задачи связаны с моделированием преимущественно отдельных событий (дискретных процессов).

Задачи моделирования экономических процессов и систем стали достаточно актуальными после перехода России к рыночной экономике. В основном они описываются дифференциальными уравнениями и системами таких уравнений. Для этого класса задач характерны:

- не только детерминированные, но и стохастические постановки;

- реакции систем на внешние воздействия "с запаздыванием";

- иногда – скачкообразные реакции систем на непрерывно изменяющиеся внешние воздействия.

Модели промышленных технологических процессов удобно формировать в виде подмоделей по отдельным аппаратам, установкам, технологическим линиям. Затем комплексная модель создается путем компоновки этих подмоделей в единой целое.

В заключение лекции повторим, что на основе выполненных постановок задач модели могут быть сформулированы в различной форме, и в частности в аналитической (аналитическая модель).

При этом для исследования аналитической модели могут применяться разные подходы.

* Задача решается аналитически (с использованием методов математического анализа, теории функций комплексного переменного и пр). При этом получаются некоторые аналитические зависимости – явные выражения для искомых величин в зависимости от сочетаний аргументов. Если эти зависимости сложны, то для нахождения конкретных значений функций при необходимых значениях аргументов, то иногда приходится разрабатывать специальные программы для ЭЦВМ. Для задач, по которым получают аналитические решения, характерны почти исключительно детерминированные постановки.

* Задача решается численно (когда получить ее аналитическое решение не удается). При этом вместо каких-то аналитических зависимостей получают конкретные числовые значения результатов при наборах конкретных значений аргументов. Отметим, что на основе численных решений с использованием методов теории планирования эксперимента, иногда можно построить регрессионные уравнения, описывающие поведение моделируемой системы в некоторой области пространства ее аргументов.

* Задача решается качественно (При этом решение в общем виде отсутствует, но оцениваются некоторые его свойства, например:

- что оно существует;

- устойчивость решения;

- асимптотические значения параметров решения при каких-то больших значениях аргументов, например, времени и пр.).


Copyright MyCorp © 2024