5. Традиционные способы наглядного представления результатов, зависящих от двух параметров

Типичным случаем является ситуация, когда оба параметра (аргументы) являются рядами значений на равномерных или неравномерных сетках.

Если оба этих ряда достаточно короткие, то может быть использовано представление в виде "объемных диаграмм" с аргументами, располагающимися по двум взаимно-перпендикулярным осям (показываемым на экране монитора чаще всего в аксонометрии).

Если ряды аргументов достаточно длинные, то функции можно представить в виде совокупности значений на прямоугольной сетке точек (в узлах этой прямоугольной сетки).

На практике удобнее размещать значения в ячейках электронной таблицы (ЭТ), причем если шаги наращивания значений аргументов непостоянные (сетки неравномерные), то для наглядности могут быть использованы ячейки ЭТ с изменяющимися размерами.

Наглядно отобразить интервалы значений функций в таких двумерных таблицах можно путем установления индивидуальных цветов заливки ячеек ЭТ для каждого из интервалов значений функции (при этом обычно более "плотные" заливки соответствуют большим значениям функции). В случае использования такого методического подхода ячейки могут содержать как числовые значения (представленные обычно черным цветом), так и фоновую заливку ячеек (но достаточно бледную).

Альтернативным решением в принципе может являться установка цвета не для фона ячейки, а для цвета шрифта чисел, отображаемых в ячейке. Однако это менее наглядно.

Другие возможности могут использоваться достаточно ограниченно:

- изменение размера шрифта;

- изменение типа шрифта (курсив, жирный и пр.);

- изменение начертания шрифта.

Вернемся к возможностям цветового кодирования интервалов значений числового материала в двумерной таблице путем заливки ячеек (с целью для наглядного представления). Если размер такой двумерной таблицы слишком велик для одновременного просмотра на экране "целиком", то можно применить специальный прием. Числовой материал вводится в ячейки нормального размера, а специально для "цветового отображения" на другом рабочем листе выделяется зона с уменьшенными размерами ячеек и не содержащая чисел.

Собственно установку цветов в этих ячейках целесообразно делать с помощью несложной программы на VBA или с использованием "условного форматирования" с цветом шрифта аналогичным цвету фона (чтобы числа были не видны).

Подходом, альтернативным к цветовому кодированию интервалов значений функции, при выводе на монитор может являться символьное кодирование (аналогично тому, что ранее применялось для матричных принтеров и алфавитно-цифровых печатающих устройств). При этом большим значениям функции ставится в соответствие символ, имеющий большую суммарную площадь отображения (при равном размере и типе шрифта). Например, символ "точка" имеет значительно меньшую зрительную плотность, чем знак "+", а тем более буква "Ж". Если рассматривать большую совокупность ячеек с такими символами "издали", то результат может быть вполне приемлемым.

Для наглядного представления значений функции с двумя аргументами также используется подход на основе систем изолиний, соответствующих равным значениям функций. Особенно широко применяется это метод в картографии, геодезии и пр. В простейшем случае изолинии представляют собой совокупности прямолинейных отрезков с точками "излома", на линиях, соединяющих значения функций в известных точках. Однако в настоящее время используются и более сложные алгоритмы, позволяющие получить "гладкие" изолинии (без точек излома).

В отношении построения систем изолиний отметим следующие особенности:

* положение изолиний при одних и тех же исходных данных может существенно зависеть от используемого алгоритма их построения;

* изолинии могут строиться как на прямоугольной "матрице" значений функции, так и при их произвольном расположении точек со значениями функции на плоскости, в том числе и с разной плотностью в различных участках области.

Для построения изолиний и вывода их на монитор или принтер могут использоваться:

- специальные блоки в моделирующих программах собственной (авторской) разработки;

- блоки визуализации в тиражируемых математических пакетах;

- автономные программы (их примером является программа SURFER).

Другим подходом, применяемым для отображения "рельефа" функции является построение ее "объемной проволочной модели", нередко в комбинации с расцвечиванием отдельных диапазонов значений функции. Важным преимуществом такого подхода может быть возможность вращения получаемых моделей (по желанию пользователя). Однако такая возможность имеется не во всех программах.

В силу накопленного опыта и традиций вопросы отображения рельефа лучше всего разработаны в области картографии. Отметим некоторые дополнительные возможности при использовании систем изолиний:

* простановка на изолиниях специальных меток для указания направления градиента функции;

* так называемую "отмывку" изображений (указание рельефа с использованием полутеней);

* цветовую и символьную кодировку диапазонов значений функции на карте, разграничиваемых изолиниями (например, на физико-географических картах специальными символами обозначаются зоны "вечных ледников").

Для физико-географических карт водные объекты значительной глубины традиционно представляются различными оттенками синего цвета, который для других целей не используется.

Относительно недавно на основе использования современных технологий начали выпускаться и реально трехмерные географические карты (штампованием из тонкого пластика), на которых нанесена та же информация, что и на обычных картах на бумаге. Однако такие технологии рентабельны лишь для массового (крупнотиражного) выпуска продукции, так изготовление матриц для таких изделий стоит дорого.

    Особым вариантом отображения пространственной числовой информации могут быть т.н. картограммы. Например, надо отобразить распределение долей населения по странам африканского континента, полученное на основании прогнозной модели для 2020г. Для этой цели в картограмме:

- берется контур Африки (что отражает функциональную принадлежность информации);

- расчетные площади (РП) для каждой из стран определяются как произведения "долей населения" на общую "площадь континента" на карте;

- затем отдельные страны воспроизводятся как зоны с рассчитанными РП (при этом их расположение и отображаемая форма государственных границ лишь весьма приближенно соответствуют фактическим показателям).

6. Использование новых информационных технологий для представления результатов в объемной форме

Попытки реально трехмерного отображения изображений с применением информационных технологий были и ранее, но они не получили сколько-нибудь широкого распространения. Так в компьютерной периодике встречались сообщения о трехмерных мониторах в виде полусфер, внутри которых располагались "трехмерные матрицы" миниатюрных светодиодов. При надлежащем программном обеспечении такие устройства действительно могут воспроизводить контуры (поверхности) трехмерных объектов в пространстве, но с не очень высоким разрешением. Преимущество таких устройств – возможность наблюдения объектов одновременно с разных точек зрения. Повторим, что эти устройства пока являются "редкой экзотикой" и пока "не поддерживаются" даже профессиональными программами в системах автоматизированного проектирования.

Для создания эффекта трехмерности изображения на плоском носителе информации (включая экран монитора, бумагу, пленку и пр.) могут применяться различные подходы.

Часть из них уже была упомянута выше. Это: использование полутеней; проволочные модели; изолинии; цветовая заливка и др. Ниже мы опишем лишь новые подходы.

Известно, что эффект объемности создается за счет того, что правый и левый глаза человека видят разные изображения. На основе этого принципа могут быть использованы различные методические подходы.

(1) Шлемы "виртуальной реальности", которые были первоначально разработаны для компьютерных игр. Шлем надевается на голову пользователя и изолирует его от окружающей среды. Перед каждым из глаз пользователя находятся по небольшому цветному монитору. Изображения для этих мониторов формируются программно (они различны) и выводятся на мониторы синхронно, что и создает объемный эффект.

Недостатки: малое разрешение мониторов (из-за их малых размеров) и, как следствие, невысокое качество изображения; сложность использования таких шлемов людьми, носящими обычные очки; быстрая утомляемость глаз и др.

(2) Изображения для правого и левого глаз выводятся на один и тот же монитор, но с использованием различных цветов (например, красного для левого глаза и синего для правого). Пользователь рассматривает монитор через специальные очки с соответствующими светофильтрами (красный для левого глаза, синий для правого). При этом создается объемное изображение, но, к сожалению, только монохромное. Такая методика ранее использовалась и для иллюстраций на бумаге, в частности в одном из изданий Большой Медицинской Энциклопедии.

(3) Цветные изображения для правого и левого глаза выводятся на один и тот же монитор, последовательно чередуясь по времени в шахматном порядке. Пользователь смотрит на монитор через специальные очки с "электрооптическими затворами" (обычно на основе жидких кристаллов). Светофильтры для правого и левого глаз "открываются" синхронно с появлением изображений на экране монитора. Такая техника пока распространена мало. Причины: дороговизна; эффект мельканий для изображений.

(4) Перспективным является также наблюдение двух изображений, имеющих различную поляризацию (для правого и левого глаза) через специальные очки с поляризационными светофильтрами. Эта методика относительно успешно применялась в кинотеатрах "стереокино", но в области компьютерных технологий пока еще не мало распространена. Однако в ряде зарубежных университетов есть лекционные аудитории, оборудованные для использования такой технологии (специальные проекторы и экраны). В частности просмотр стереоизображений очень полезен при изучении расположения ионов в кристаллических решетках, графическом представлении сложных молекулярных структур и пр.

Ранее выпускались преимущественно мониторы на электронно-лучевых трубках (ЭЛТ), имевшие выпуклую поверхность. В настоящее время практически все мониторы выпускаются с "плоским экраном" (для снижения "бликов" мониторов на ЭЛТ фактически используются слабовогнутые экраны). В отношении создания эффектов объемности изображений эти различия значения не имеют.

    В литературе также встречались сообщения о попытках повышения эффекта объемности изображений за счет применения наклеивания на экран монитора специальной прозрачной пленки с "тисненной фактурой" и т.п. Однако, это следует рассматривать как рекламный (маркетинговый) прием, т.к. реального эффекта объемности для произвольных изображений такая пленка дать не может.

7. Представление результатов, зависящих от трех и более параметров

    Наглядно отобразить результаты, зависящие от трех параметров, значительно сложнее, чем зависящие от двух параметров.

В случае фиксированных наборов сочетаний параметров для рассматриваемой в лекции цели могут быть использованы электронные таблицы. Один из возможных подходов - каждый из листов электронной таблицы представляет собой "сечение" трехмерной области при фиксированном значении одного из параметров.

Далее к каждому из листов применяются методы, описанные ранее для двумерных таблиц.

При необходимости, имея такую трехмерную матрицу значений, можно выполнить "сечение" и по другому параметру - с применением программных средств (например, VBA).

С использованием специальных программных средств можно получить квазиобъемные отображения значений функций (например, в виде "проволочных моделей" для каждого из последовательных "сечений") и представить их в общем документе по схеме "одно над другим".

    Встречается также представление значений функций, зависящих от трех параметров, в виде "облака переменной оптической плотности", отображаемого в пространстве трех ортогональных осей (одна из осей показывается в аксонометрии) - в виде различных оттенков серого цвета. Для того, чтобы показать как изменяется плотность внутри "облака", нередко используются клинообразные вырезы из облака. При этом иногда вместо различных оттенков серого цвета внутри облака используется цветовая кодировка диапазонов значений функций от трех переменных.

Результаты, зависящие от четырех и более параметров, отобразить в трехмерном пространстве естественно нельзя. Поэтому используется их представление в виде "сечений", представляющих собой двумерные или трехмерные области. Вообще в этом случае обычно стараются пользоваться аналитическими зависимостями, в т.ч. и регрессионными уравнениями, приближенно описывающими поведение функций.